_ Materi ringkas tentang INTEGRAL _

pengertian Integral 

Integral adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika. Integral dan inversnya, diferensiasi, adalah operasi utama dalam kalkulus. Integral dikembangkan menyusul dikembangkannya masalah dalam diferensiasi, yaitu matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah .

Bila diberikan suatu fungsi f dari variabel real x dengan interval [a, b] dari sebuah garis lurus, integral tertentu

didefinisikan sebagai area yang dibatasi oleh kurva f, sumbu-x, sumbu-y, serta garis vertikal x = a dan x = b dengan area yang berada di atas sumbu-x bernilai positif dan area di bawah sumbu-x bernilai negatif.

Kata integral juga dapat digunakan untuk merujuk pada antiturunan, sebuah fungsi F yang turunannya adalah fungsi f. Pada kasus ini, ia disebut sebagai integral tak tentu dan notasinya ditulis sebagai berikut.

Prinsip-prinsip dan teknik integrasi dikembangkan terpisah oleh Isaac Newton dan Gottfried Leibniz pada akhir abad ke-17. Melalui teorema fundamental kalkulus yang mereka kembangkan masing-masing, integral terhubung dengan diferensial: jika f adalah fungsi kontinu yang terdefinisi pada sebuah interval tertutup [a, b], jika antiturunan F dari f diketahui, integral tertentu dari f pada interval tersebut dapat didefinisikan sebagai:

Integral dan diferensial menjadi peranan penting dalam kalkulus dengan berbagai macam aplikasi pada sains dan teknik.

erminologi dan notasi

Integral terhadap x dari fungsi nilai riil f dari variabel riil x pada interval [a, b] dapat ditulis sebagai

Tanda integral ∫ mewakili integrasi. Simbol dx, disebut diferensial dari variabel x, menunjukkan bahwa variabel integrasi adalah x. Fungsi dari f(x) untuk mengintegrasikan dapat disebut yaitu integran. Simbol dx dipisahkan dari integrand oleh spasi (seperti yang ditunjukkan). Suatu fungsi dikatakan dapat diintegralkan jika integral dari fungsi di atas domainnya berhingga. Intinya a dan b disebut batas integral. Suatu integral dimana batas ditentukan disebut integral pasti. Integral dikatakan melebihi interval [a, b].

Bila integral dipindahkan dari nilai terbatas a ke batas atas tak terhingga, integral menyatakan batas integral dari a menjadi nilai b karena b tak terhingga. Bila nilai integral semakin mendekati nilai berhingga, maka integral tersebut dikatakan dapat menyatu ke nilai tersebut. Jika tidak, integral dikatakan menyimpang.

Ketika batas dihilangkan, seperti pada integral disebut integral tak tentu,[1][2] yang merepresentasikan kelas fungsi (antiturunan) yang turunannya adalah integran. Teorema dasar kalkulus menghubungkan evaluasi integral pasti ke integral tak tentu. Kadang-kadang, batas integrasi dihilangkan untuk integral tertentu ketika batas yang sama muncul berulang kali dalam konteks tertentu. Biasanya, penulis akan menjelaskan konvensi ini di awal teks yang relevan.

Ada beberapa ekstensi notasi integral untuk mencakup integrasi pada domain tak terbatas, dan atau dalam beberapa dimensi (lihat bagian selanjutnya dari artikel ini).

Arti simbol dx

Secara historis, simbol dx diambil untuk mewakili "bagian kecil" yang sangat kecil dari variabel independen x, yang akan dikalikan dengan integrand dan dijumlahkan dalam arti yang tak terbatas. Sedangkan pengertian ini masih berguna secara heuristik, matematikawan kemudian menganggap jumlah yang sangat kecil tidak dapat dipertahankan dari sudut pandang sistem bilangan riil.[4] Dalam kalkulus pengantar, ungkapan dx oleh karena itu tidak diberi arti yang independen; sebaliknya, ia dipandang sebagai bagian dari simbol integrasi dan berfungsi sebagai pembatasnya di sisi kanan ekspresi yang diintegrasikan.

Dalam konteks yang lebih canggih, dx dapat memiliki signifikansinya sendiri, artinya bergantung pada bidang matematika tertentu yang sedang dibahas. Saat digunakan dengan salah satu cara ini, notasi Leibnitz asli dipilih untuk diterapkan pada generalisasi definisi asli integral. Beberapa interpretasi umum dari dx termasuk: fungsi integrator dalam Integrasi Riemann-Stieltjes (ditunjukkan dengan dα (x) secara umum), a ukuran dalam teori Lebesgue (ditunjukkan dengan dμ secara umum), atau bentuk diferensial dalam kalkulus eksterior (ditunjukkan dengan secara umum). Dalam kasus terakhir, bahkan huruf d memiliki arti tersendiri sebagai operator turunan eksterior pada bentuk diferensial.

Sebaliknya, dalam pengaturan lanjutan, tidak jarang meninggalkan dx ketika hanya integral Riemann sederhana yang digunakan, atau jenis integral yang tepat tidak penting. Contohnya, seseorang mungkin menulis untuk mengungkapkan linearitas integral, properti yang dimiliki oleh integral Riemann dan semua generalisasinya.

Varian

Dalam notasi matematika Arab modern, simbol integral yang dipantulkan digunakan sebagai pengganti simbol ∫, karena skrip Arab dan ekspresi matematika dari kanan ke kiri.[5] Beberapa penulis, terutama yang berasal dari Eropa, menggunakan "d" tegak untuk menunjukkan variabel integrasi (yaitu, dx alih-alih dx), karena berbicara dengan benar, "d" bukan bagian variabel.Simbol dx tidak selalu ditempatkan setelah f(x), seperti misalnya.

ekspresi pertama, diferensial diperlakukan sebagai faktor "perkalian" yang sangat kecil, secara formal mengikuti "properti komutatif" saat "dikalikan" dengan ekspresi tersebut 3/(x2+1). Pada ekspresi kedua, menunjukkan perbedaan pertama menyoroti dan mengklarifikasi variabel yang diintegrasikan terkait praktik yang sangat populer di kalangan fisikawan

Interpretasi dari integral

Integral muncul dalam banyak situasi praktis. Bila sebuah kolam renang berbentuk persegi panjang dengan dasar datar, maka dari panjang, lebar, dan dalamnya kita dapat dengan mudah menentukan volume air yang dapat ditampungnya (untuk mengisinya), luas permukaannya (untuk menutupinya), dan panjang tepinya (untuk mengikatnya). Tetapi jika berbentuk oval dengan dasar bulat, semua besaran ini membutuhkan integral. Perkiraan praktis mungkin cukup untuk contoh sepele seperti itu, tetapi teknik presisi (dari disiplin apa pun) membutuhkan nilai yang tepat dan teliti untuk elemen ini. Perkiraan ke integral dari √x dari 0 hingga 1, dengan 5 ■ (kuning) partisi titik akhir kanan dan 12 ■ (hijau) partisi titik akhir kiri Untuk memulai, pertimbangkan kurva y = f(x) antara x = 0 dan x = 1 dengan f(x) = √x (lihat gambar). Kami bertanya: Berapakah luas di bawah fungsi f, dalam interval dari 0 sampai 1?

dan menyebut luas dari (belum diketahui) sebagai (pasti) integral dari f. Notasi untuk integral ini adalah

Sebagai perkiraan pertama, lihat persegi satuan yang diberikan oleh sisi-sisinya x = 0 ke x = 1 dan y = f(0) = 0 dan y = f(1) = 1. Luasnya persis 1. 

Sebenarnya, nilai sebenarnya dari integral harus kurang dari 1. Mengurangi lebar persegi panjang aproksimasi dan menambah jumlah persegi panjang memberikan hasil yang lebih baik; jadi silangkan interval dalam lima langkah, menggunakan titik aproksimasi 0, 1/5, 2/5, dan seterusnya ke 1. Pasangkan kotak untuk setiap langkah dengan menggunakan tinggi ujung kanan setiap bagian kurva, sehingga √1/5, √2/5, dan seterusnya √1 = 1. Dengan menjumlahkan luas persegi panjang ini, kita akan mendapatkan pendekatan yang lebih baik untuk integral yang dicari, yaitu

Kami mengambil jumlah nilai fungsi yang tak terhingga dari f, dikalikan dengan selisih dua titik aproksimasi berikutnya. Kita dapat dengan mudah melihat bahwa perkiraannya masih terlalu besar. Menggunakan lebih banyak langkah menghasilkan perkiraan yang lebih dekat, tetapi akan selalu terlalu tinggi dan tidak akan pernah tepat. Alternatifnya, mengganti sub-interval ini dengan satu dengan tinggi ujung kiri setiap bagian, kita akan mendapatkan perkiraan yang terlalu rendah: contohnya, dengan dua belas subinterval seperti itu, kita akan mendapatkan nilai perkiraan untuk luas 0,6203.

Ide kuncinya adalah transisi dari menambahkan perbedaan titik aproksimasi sangat banyak (dikalikan dengan nilai fungsinya masing-masing) menjadi menggunakan halus tak terhingga, atau infinitesimal. Ketika transisi ini diselesaikan pada contoh di atas, ternyata luas di bawah kurva dalam batas yang disebutkan adalah 2/3.

Notasi dari menganggap integral sebagai jumlah tertimbang, dilambangkan dengan memanjang s, nilai fungsi, f(x), dikalikan dengan lebar langkah yang sangat kecil, yang disebut diferensial, dilambangkan dengan dx.

Secara historis, setelah kegagalan upaya awal untuk menafsirkan infinitesimal secara ketat, Riemann secara formal mendefinisikan integral sebagai limit dari jumlah tertimbang, sehingga dx menyarankan batas perbedaan (yaitu, lebar interval). Kekurangan ketergantungan Riemann pada interval dan kontinuitas memotivasi definisi yang lebih baru, terutama integral Lebesgue, yang didasarkan pada kemampuan untuk memperluas gagasan "mengukur" dengan cara yang jauh lebih fleksibel. Demikian notasinya

mengacu pada jumlah tertimbang di mana nilai fungsi dipartisi, dengan μ mengukur bobot yang akan diberikan untuk setiap nilai. Di sini A menunjukkan wilayah integral.

Definisi formal

Ada banyak cara untuk mendefinisikan integral secara formal, tidak semuanya setara. Perbedaan tersebut sebagian besar ada untuk menangani kasus khusus yang berbeda yang mungkin tidak dapat diintegrasikan dalam definisi lain, tetapi juga jarang terjadi karena alasan pedagogis. Definisi integral yang paling umum digunakan adalah integral Riemann dan integral Lebesgue.

Integral Riemann

Integral Riemann didefinisikan dalam istilah jumlah Riemann fungsi sehubungan dengan partisi yang ditandai dari sebuah interval.[10] Maka [a, b] salah satu bagian interval tertutup dari garis nyata; lalu "partisi yang diberi tag" dari [a, b] adalah urutan yang terbatas

Cara membagi interval pada [a, b] menjadi n mengganti dengan interval [xi−1, xi] diindeks oleh i, yang masing-masing "diberi tag" dengan titik yang berbeda ti ∈ [xi−1, xi]. A Jumlah Riemann dari suatu fungsi f sehubungan dengan partisi yang ditandai seperti definisi sebagai

dengan demikian setiap suku dari jumlah tersebut adalah luas persegi panjang dengan tinggi sama dengan nilai fungsi pada titik yang dibedakan dari sub-interval yang diberikan, dan lebarnya sama dengan lebar sub-interval. Maka Δi = xi−xi−1 menjadi lebar sub-interval i; maka menghubungkan partisi yang diberi tag adalah lebar mengganti interval terbesar yang dibentuk oleh partisi, maxi=1...n Δi. Integral Riemann dari sebuah fungsi f selama interval [a, b] sama dengan S jika:

Untuk semua nilai ε > 0 disana terdapat jumlah δ > 0 sedemikian rupa, untuk partisi yang diberi tag [a, b] dengan mesh kurang dari δ, kami punya

Ketika tag yang dipilih memberikan nilai maksimum (masing-masing, minimum) dari setiap interval, jumlah Riemann menjadi atas (masing-masing, lebih rendah) Jumlah Darboux, menunjukkan hubungan erat antara integral Riemann dan integral Darboux.

Integral Lebesgue

                          

Seringkali menarik, baik dalam teori maupun aplikasi, untuk dapat melewati batas di bawah integral. Contohnya, urutan fungsi seringkali dapat dibangun yang mendekati, dalam arti yang sesuai, solusi untuk suatu masalah. Jadi integral dari fungsi solusi harus menjadi batas integral dari aproksimasi. Akan tetapi, banyak fungsi yang dapat diperoleh sebagai batas bukan merupakan integral Riemann, sehingga teorema batas tersebut tidak berlaku dengan integral Riemann.. Oleh karena itu, sangat penting untuk memiliki definisi integral yang memungkinkan kelas fungsi yang lebih luas untuk diintegralkan (Rudin 1987).

Integral seperti itu adalah integral Lebesgue, yang mengeksploitasi fakta berikut untuk memperbesar kelas fungsi yang dapat diintegrasikan: Bila nilai suatu fungsi disusun ulang di atas domain, integral dari suatu fungsi harus tetap sama. Jadi Henri Lebesgue memperkenalkan integral yang menyandang namanya, menjelaskan integral ini dalam sebuah surat kepada Paul Montel:

Saya harus membayar sejumlah uang, yang telah saya kumpulkan di saku saya. Saya mengambil uang kertas dan koin dari saku saya dan memberikannya kepada kreditor sesuai urutan saya menemukannya sampai saya mencapai jumlah totalnya. Ini adalah integral Riemann. Tetapi saya dapat melanjutkan secara berbeda. Setelah saya mengeluarkan semua uang dari saku saya Saya memesan uang kertas dan koin sesuai dengan nilai yang sama dan kemudian saya membayar beberapa tumpukan satu demi satu kepada kreditor. Ini adalah bagian integral saya.

Sebagai (Folland 1984, p. 56) meletakkannya, "Untuk menghitung integral Riemann dari f, satu partisi domain [a, b] menjadi sub-interval ", sementara dalam integral Lebesgue," salah satunya adalah mempartisi kisaran f ". Definisi integral Lebesgue dengan demikian dimulai dengan ukuran, μ. Dalam kasus yang paling sederhana, ukuran Lebesgue μ(A) dari sebuah interval A = [a, b] adalah lebar, b − a, sehingga integral Lebesgue setuju dengan integral Riemann (yang tepat) ketika keduanya ada. Dalam kasus yang lebih rumit, set yang diukur bisa sangat terfragmentasi, tanpa kontinuitas dan tidak ada kemiripan dengan interval.

Menggunakan "partisi rentang f " filsafat, integral dari fungsi non-negatif f : R → R harus berjumlah lebih dari t dari area di antara strip horizontal tipis di antaranya y = t and y = t + dt. Maka hasil dari daerah μ{ x : f(x) > t} dt. Maka f∗(t) = μ{ x : f(x) > t}. Integral Lebesgue dari f kemudian didefinisikan oleh (Lieb & Loss 2001)

dimana integral di sebelah kanan adalah integral Riemann biasa yang tidak layak (f∗ is a menurunkan fungsi positif secara ketat, dan karena itu memiliki terdefinisi dengan baik integral Riemann yang tidak tepat). Untuk kelas fungsi yang sesuai (fungsi terukur s) ini mendefinisikan integral Lebesgue.

Fungsi umum yang dapat diukur f adalah Integrasi Lebesgue jika jumlah nilai absolut dari luas daerah antara grafik f dan sumbu x terbatas:

Dalam kasus tersebut, integralnya adalah, seperti dalam kasus Riemannian, perbedaan antara luas di atas sumbu x dan luas di bawah sumbu x:

Integral Darboux

        Integral Darboux, yang ditentukan oleh jumlah Darboux (jumlah Riemann terbatas) namun ekuivalen dengan integral Riemann suatu fungsi dapat diintegrasikan dengan Darboux jika dan hanya jika ia dapat diintegrasikan dengan Riemann. Integral Darboux memiliki keuntungan karena lebih mudah didefinisikan daripada integral Riemann.

Setiap interval [xi−1,xi] disebut subinterval dari partisi. Membiarkan ƒ:[a,b]→ℝ menjadi fungsi yang dibatasi,